Tal y como ya escribí en esta, esta y esta entrada, creo que reflexionar acerca de los algoritmos que enseñamos a los alumnos es una tarea que aporta valor a la didáctica de las matemáticas. Así como en entradas anteriores me centré en su enfoque desde la perspectiva de utilidad a los alumnos, en este trataré de valorarlo desde el punto de vista del profesor.
Uno de los motivos esenciales por los que un maestro escoge el uso de un algoritmo en concreto como una herramienta de enseñanza es precisamente porque no escoge. La mayoría de los docentes que conozco emplean en el aula los mismos algoritmos que ellos aprendieron como alumnos, es decir, simplemente repiten aquello que han recibido.
En estas situaciones, la elección del algoritmo más adecuado es inexistente. De hecho, muchos ignoran que para una misma operación existen diferentes algoritmos. Por eso, cuando se encuentran con esta circunstancia, se sienten sorprendidos, extrañados y fácilmente caen en el rechazo.
Mi sentir es que debemos ampliar nuestros conocimientos y nuestra comprensión respecto de las asignaturas, de las estrategias y de las herramientas que manejamos y proveemos a los alumnos. Por eso compartiré diferentes algoritmos con la intención de ampliar el campo de visión y mostrar que la realidad es más amplia que lo que nos hayan enseñado. Así quizá la elección deje de fundamentarse en lo que ignoro y pase a basarse en lo que mejor sirve al resultado que deseo alcanzar.
Suma
Esta entrada del blog de Smartick, muestra tres algoritmos de sumas: el tradicional, el algoritmo de abn y el método holandés, cada uno con sus particularidades.
Resta
La propia entrada de la wikipedia nos muestra hasta 7 formas distintas de resolver una resta. (El método americano y el método comercio es el mismo que abordo es este blog, diferenciándose únicamente en que, en el método comercio, se hacen todas las redistribuciones antes de operar)
Multiplicación
En la entrada de la Wikipedia se pueden conocer tres planteamientos diferentes. Quiero incluir el algoritmo de multiplicación abn: enlace, y un vídeo con la explicación de la multiplicación japonesa ya que no queda lo suficientemente ilustrada:
División
Aquí nos encontramos, por ejemplo, con el método de la división por galera, el de la división larga y el de la potencia. Añado también el algoritmo abn: enlace. Nótese que, en el caso de la división por potencia, existe la opción de representar las sustracciones parciales o no hacerlo. Algo que recomiendo valorar si ayuda a evidenciar que la división es una resta que se repite (¿Cuántas veces puedo quitar esta cantidad a este número?)
Como podéis apreciar, hay multitud de algoritmos distintos para cada una de las operaciones aritméticas básicas así que no podemos reducir nuestras opciones a aquellas con las que nos enseñaron. Conozcamos las particularidades de cada una y seleccionemos con un criterio didáctico, no costumbrista.
Los Brain Breaks son actividades sencillas y con escaso o nulo requerimiento de material, que sirven para romper la dinámica y oxigenar a los alumnos en el aula. Esta es una lista que elaboré para uso propio y que ahora comparto. La mayoría pertenecen a David Sladkey:
1-Mirror mirror: los alumnos se colocan por parejas uno enfrente de otro. El primer minuto un alumnos hace gestos y el otro le copia. Pasado el tiempo se intercambian los papeles.
2-Superman Dance: Vídeo.
3-1, 2, 3, clap, head, nose: Los alumnos se colocan por parejas. Cuentan alternativamente hasta 3. El primero dice uno, el segundo dice dos, el primero dice tres, el segundo dice uno, el primero dice dos, el segundo dice tres y así sucesivamente. Luego tienen que hacer una palmada al decir uno, luego se añade tocarse la cabeza al decir dos, finalmente se añade tocarse la nariz al decir tres.
4-Snap, wink. Los alumnos chasquean los dedos de la mano derecha y tratan de guiñar el ojo del lado izquierdo, después cambian de mano y de ojo. Se repite varias veces.
5-Ear and nose. Con la mano derecha sujeta tu oreja izquierda y con la mano izquierda toca la punta de tu nariz. Ahora cambia y con la mano izquierda sujeta tu oreja derecha, luego con la mano derecha toca la punta de tu nariz. Se repite varias veces.
6-Numbers: Se cuenta en voz alta hasta una cantidad de forma ascendente (20, 30, 40) o descendente de uno en uno, de dos en dos o de tres en tres.
7-Fish and Snake. El movimiento del pez es balancear la mano haciendo ondas de arriba a abajo, el movimiento de la serpiente es hacer las ondas de un lado a otro. Primero se practica cada movimiento con ambas manos y luego trata de hacerse el pez con una mano y la serpiente con la otra a la vez.
8-Tap your head and rub your tummy. Primero se toca la cabeza con la mano derecha varias veces, se repite el gesto con la mano izquierda. Se vuelve a repetir. Se frota el estomago con la mano derecha haciendo círculos, luego se frota el estomago con la mano izquierda. Ahora se toca la cabeza con la mano derecha mientras la izquierda frota el estómago, luego se cambian las manos, la mano izquierda toca la cabeza mientas la derecha frota el estómago. Luego se cambian los gestos, "rub your head, tap your tummy"
9-Hands Brain Breaks. Coloca las dos manos frente a ti con las palmas hacia adelante. Mueve la mano derecha de derecha a izquierda. Ahora añade el movimiento de la mano izquierda de arriba abajo sin dejar de mover la derecha de lado a lado. Intercambia los movimientos. Ve alternando.
10-Slapcount. Se colocan los alumnos por parejas. Con las palmas hacia arriba. El primer jugador palmea con su mano derecha la mano derecha del compañero que tiene enfrente mientras dice "1", después palmea con su mano izquierda la mano izquierda del compañero mientras dice "2". Ahora es el turno de otro jugador, que palmea con su mano derecha la mano derecha del primer jugador mientras sigue la cuenta "3", hace lo mismo con la mano derecha mientras dice "4". Se sigue contando hasta alcanzar la cifra deseada. Se puede hacer la cuenta hacia atras. Se puede hacer la cuenta de 2 en 2, o de 3 en 3.
11-ABC, 123. El alumno tiene que escribir en el aire la letra A, mientras dice en voz alta "UNO", luego tiene que escribir la B mientras dice "DOS" y así sucesivamente.
12-Different Direction Circles Index Fingers: El alumno levanta las manos y coloca los indices de ambas manos señalandose hacia el centro. Comienza moviendo la mano derecha formando un círculo del tamaño de una pelota de baloncesto de dentro hacia afuera. Sin dejar de mover la mano derecha, comienza a hacer el movimiento contrario (un cilindro de fuera hacia adentro) con la mano izquierda. Trata de sincronizar los círculos para que coincidan en la parte superior y en la inferior.
13-Guns and roses. El alumno forma una pistola con la mano derecha y una rosa (un circulo con el índice y el pulgar) con la mano izquierda. Luego tiene que ir cambiar los gestos alternativamente.
14-Figure Eight. El alumno toma un objeto y, dibujando un ocho, lo pasa entre sus piernas hacia atrás, rodea la pierna por delante y lo vuelve a pasar entre las piernas hacia atrás.
15-Rocks, Paper, Scissors, Math: Los alumnos se colocan por parejas. Tienen que hacer el gesto de piedra, papel o tijeras (golpearse la palma de la mano con el puño de la otra) pero añaden un cuarto nombre "Cuenta". Al hacer el cuarto nombre colocan extendidos los dedos de la mano que quieran y deben decir en voz alta la suma de sus dedos más los dedos del compañero. Si uno extiende dos dedos y el otro tres, gana el jugador que diga 5 primero.
16-Infinity. Se trata de dibujar el signo de infinito con el índice de ambas manos a la vez, cruzandose en medio y luego tratando de dibujarlo en dirección contraria.
17-Thumb and pinkie. El alumno extiende las manos hacia adelante. En la mano derecha levanta el dedo pulgar, en la izquierda extiende el meñique. Luego intercambia los dedos en ambas manos. Se repite.
18-Five: Los alumnos se colocan por parejas. El primer jugador extiende un brazo hacia la derecha, izquierda, arriba o abajo y extiende también 1, 2, 3, 4 o 5 dedos. El segundo jugador tiene que extender el mismo brazo haciendo el gesto contrario y mostrando el número de dedos necesario para sumar cinco junto con los del compañero. Si el alumno 1 extiende el brazo derecho hacia la derecha mostrando 2 dedos, al alumno dos extiende su brazo derecho hacia la derecha mostrando 3 dedos para sumar 5.
19-Hand shake: Los alumnos se colocan por parejas. Se estrechan las manos derechas, se estrechan las manos izquierdas, choque de puños derechos, choque de puños izquierdos, choque martillo derechas, choque martillo izquierdas, choque de palmas en el aire con manos cruzadas, choque de ambos puños, choque de palmas en el aire. Se repite más rápido.
20-Elbow to knee stretch: El alumno coloca las palmas de las manos detras de la cabeza. Toca con su codo derecho el rodilla izquierda, luego toca con su codo izquierdo su rodilla izquierda. Sigue alternando siguiendo el patrón 1, 1, 2. (1 vez, 1 vez, 2 veces).
21-Say 21 and WIN: Los alumnos se colocan por parejas. Comienza el primer alumno diciendo 1, 2 o 3. EL siguiente alumno puede añadir al número que ha dicho 1, 2 o 3 (si el primero ha dicho 2,el segundo podría decir 2, 4 o 5) el primer alumno vuelve a añadir 1, 2 o 3 y dice en voz alta el número resultante. Así sucesivamente hasta que uno de los dos diga el número 21 y gane.
22-Itsy Bitsy Spider: Coloca las manos enfrente de ti. Extiende los dedos índice y pulgar de cada mano. Con el dedo índice de la mano derecha toca el pulgar de la mano izquierda. Rota las manos para que el dedo pulgar de la mano derecha toque el índice de la izquierda. Repite el movimiento para seguir caminando haca arriba en el aire con las manos. Ahora trata de repetir esta secuencia con las manos en la espalda. Trata de realizar el movimiento en sentido contrario bajando.
23-Gotcha: El alumno coloca la mano izquierda abierta hacia el cielo, y el dedo índice de la mano derecha apuntando a bajo. Puede ser en círculo o en pareja. Contar hacia 3 e intentar coger el dedo del vecino sin tener el suyo atrapado. Prabar con las manos cruzadas.
Podéis ver la mayoría de ellos en la siguiente lista de reproducción
En la entrada anterior, estuvimos analizando el algoritmo tradicional para resolver una resta con llevadas y propusimos uno que fuese más respetuoso y coherente con las dinámicas que ya han interiorizado lo alumnos en su aprendizaje de las matemáticas.
En esta entrada voy a compartir algunas cuestiones previas a la presentación del algoritmo que creo que pueden ser relevantes a la hora de planificar la secuencia de aprendizaje.
Una de las razones por las que el algoritmo tradicional de la resta con llevadas ha sido tan empleado es porque evita una de las dificultades que tienen los alumnos: contar hacia atrás. En dicho algoritmo de resta, el resultado de la operación se obtiene sin tener que restar (¡!) . Los alumnos cuentan de forma ascendente desde el número situado en la fila inferior hasta un número inventado (ya que no aparece como tal) que se encuentra en la fila superior. Luego aplican un acto de fe ("y me llevo una") y modifican el siguiente número de la fila inferior para volver a realizar una cuenta ascendente.
Al hacerlo de esta manera hemos obtenido el resultado de una resta sin tener que restar y empleamos únicamente la cuenta ascendente como destreza necesaria para hacerlo.
Como explicamos en la entrada anterior, el algoritmo no debería ser solo un conjunto de instrucciones misteriosas e incomprensibles que, sorprendentemente, nos conducen a la obtención de un resultado correcto sino que deberían ayudar a visibilizar la relación que existe entre los números, poniendo en práctica las destrezas que ejercitan dicha relación. Dicho de otro modo, en una operación de suma es recomendable que los alumnos aprendan cómo obtener el resultado correcto por medio de un algoritmo en el que se aborde la adición sumando. En una operación de resta, que expresa una relación de detracción o sustracción, deberíamos buscar el algoritmo que nos permite obtener el resultado usando detracciones.
Para poder abordar esta consideración desde una perspectiva didáctica parece lógico señalar que, si los alumnos van a emplear un algoritmo que pone en práctica la detracción, deben ser capaces de contar hacia atrás con fluidez. De hecho no debería abordarse el tratamiento de las operaciones de resta si los alumnos no son capaces de dominar la cuerda numérica descendente. Para simplificar aún más esta cuestión podríamos decir que basta con que sean capaces de realizar con fluidez la cuenta descendiente que desde el 18.
Si lo consideramos, la cantidad más elevada que van a tener que abordar en una resta con llevadas (que aborda cantidades superiores a la resta normal) es la que presenta un 8 en la fila superior y un 9 en la inferior. Al realizar la redistribución de decenas (que se basa en llevar parte de su representación de una columna a otra) la cifra 8 se entiende como 18, que es la cantidad desde la que el alumno deberá a contar de forma descendente. Así que un trabajo previo con ejercicios y practicas que permitan al alumno dominar la cuenta descendente desde el 18, será fundamental a la hora de abordar un algoritmo de la resta en el que el alumno reste.
Resumen: Ayuda a tus alumnos a dominar la cuenta hacia atrás desde el 18
