Cuando, como profesores, nos planteamos la forma en la que vamos a encarar un algoritmo deberíamos tener presente el que ayude a comprender al alumno la relación que supone entre diversas cantidades y que sea coherente con la forma de aplicar otros algoritmos. Esta es la idea principal sobre la que planteo este análisis.
En el mundo de la lectura y escritura hay dos direcciones omnipresentes que han trascendido esta realidad y han pasado a conformarse como dominantes generales en nuestra forma de percibir y de relacionarnos con la realidad que nos rodea. Estas dos direcciones son derecha y abajo. Cuando leemos y escribimos nos guiamos por estas dos direcciones, en este mismo orden: leemos una línea hacia la derecha y, al finalizar, nos desplazamos abajo. Son dos movimientos o directrices que forman parte del consciente y del subconsciente de los alumnos. Derecha y abajo. Derecha y abajo.
En matemáticas estas directrices dominantes o tendencias no se aplican de forma absoluta. En la construcción numérica el número se enseña comenzando en las unidades y, según avanzamos, añadimos las decenas, centenas, etc. Es decir, el alumno aprende a construir la identidad del número comenzando por la derecha. Una forma de trabajar que se muestra evidente con los ábacos y las diversas representaciones que hay de ellos en los libros de texto.
Esta dirección dominantes (opuesta a la de la lectura y la escritura) está presente también en los diferentes algoritmos:
En ambos algoritmos, si cuidamos el sentido de la resta y la coherencia con el algoritmo de la suma, se da el caso de que, en ambos, operamos hacia abajo.
Estas parecen pues las direcciones dominantes en los algoritmos matemáticos básicos. Izquierda y abajo. El movimiento hacia la izquierda no nos permite conectar con otros aprendizajes del alumno, lo cual es una pena, ya que es bien sabido que cuantas más relaciones establezcamos con conocimientos previos más sencillo les resulta adquirir los nuevos. Al menos mantenemos una cierta continuidad con el desplazamiento vertical.
Y luego está la multiplicación.
La multiplicación tiene un debate muy interesante e intenso ya en su base, el debate acerca de cómo ha de interpretarse su escritura. Dependiendo de cómo se lea da lugar a dos interpretación bien distintas.
¿Cuál representa el número y cuál las veces? Si queremos poner la comprensión del algoritmo al frente de cualquier consideración establecer cual será nuestra interpretación acerca de la expresión matemática no es una cuestión menor. (Hay un debate muy interesante en los comentarios de esta entrada)
Por otro lado nos encontramos la siguiente particularidad: en la suma y en la resta, la expresión horizontal se traslada como operación vertical colocando el primer número arriba y el/los siguientes abajo y operando en la misma dirección. Ved la siguiente imagen:
La multiplicación, sin embargo, no sigue la misma pauta que la suma y la resta. A la hora de escribir la operación correspondiente a la expresión escrita, si bien es cierto que es escribe hacia abajo, se opera en dirección opuesta, hacia arriba.
La expresión 3 x 2 se escribe como operación con el 3 arriba y el 2 abajo, pero se resuelve calculando o pensando "2 por 3". En realidad la dirección sería algo más parecido a esto:
Diríamos 2 x 3 (hacia arriba) son 6, y lo escribiríamos abajo del todo.
No solo estamos operando al contrario del resto de algoritmos que hemos visto con anterioridad sino que el propio desarrollo del algoritmo es, en sí mismo, confuso y caótico; porque si estoy multiplicando "3 x 2" ¿por qué he de resolverlo diciendo "2 x 3"? ¿Qué sentido tiene?
Una de las posibles respuestas sería la de argumentar que el orden de los factores no altera el producto y que, a fin de cuentas, el resultado final de la operación es el mismo. Sin embargo esta posible explicación choca frontalmente con el postulado inicial de que los algoritmos deben ser no solo medios para obtener un resultado correcto sino manifestaciones evidentes de una relación entre cantidades que ayudan a los alumnos a comprender el sentido de lo que hacen y que, además, guardan la mayor coherencia posible con aquello que han aprendido con anterioridad.
La pregunta que se desprende de esta afirmación puede parecer obvia ¿hay alguna forma de plantear la multiplicación en la que se salvaguarden ambas condiciones? La respuesta es que por supuesto, tan solo hay que darle la vuelta al asunto.
La multiplicación 4 x 2 se escribe verticalmente hacia abajo, como hacemos habitualmente, y se resuelve también hacia abajo "4 x 2", de la misma forma que las sumas y las restas. De este modo, el algoritmo para resolver la multiplicación es respetuoso con la operación que resuelve y tiene sentido para el alumno.
Esto, que puede parecer no tan evidente con las multiplicaciones con una cifra se muestra mucho más claro con ejemplos como el siguiente:
En el algoritmo tradicional, para resolver la multiplicación 14 x 2 lo que hacemos es multiplicar el 2 por cada una de las cifras del primer número. Primero plantearíamos 2 x 4 y después 2 x 1. Es decir operamos hacia arriba. Obtenemos el resultado correcto pero el proceso es un disparate que no tiene lógica ni sentido.
Si decidimos darle la vuelta a la multiplicación el asunto es bien distinto.
Para calcular 14 x 2, lo que haríamos es multiplicar cada una de las cifras del número 14, el multiplicando, por el 2, que actúa como multiplicador. Para ello comenzamos con la cifra de las unidades 4 y la multiplicamos por 2, obteniendo 8 como resultado. Después pasamos a la cifra de las decenas, 1, y la multiplicamos de nuevo por el multiplicador, 2, obteniendo 2 como resultado. Es decir, todas las cifras del multiplicando se multiplican por el multiplicador.
En una multiplicación con varias cifras en el multiplicador el procedimiento es el mismo
Multiplicamos todas las cifras del multiplicando por las unidades del multiplicador: Primero 4 x 2 y luego 1 x 4. Después volvemos a multiplicar todas las cifras del multiplicando ahora por las decenas del multiplicador, 4 x 1 y 1 x 1. Como ahora estamos multiplicando por las decenas, escribiremos los resultados comenzando por el lugar de las decenas.
En la resolución de la operación se puede advertir como durante todo el proceso hemos mantenido la direccionalidad presente en otros algoritmos (izquierda y abajo) y que los alumnos ya conocen. Nada de lo que aquí les presentemos les resultará extraño o novedoso, como sí ocurría con el algoritmo tradicional.
Desde mi punto de vista, gracias a esta variación en el algoritmo de la multiplicación, logramos un conjunto de beneficios o ventajas claros: mantenemos la coherencia interna, ya que nunca deja de ser evidente cuál es el número que estamos multiplicando, mantenemos la coherencia entre la expresión en horizontal y vertical y mantenemos la coherencia con los algoritmos trabajados con anterioridad. Todo esto tan solo dándole la vuelta a la multiplicación.
Al hacerlo, ganamos en sentido y coherencia... y los adultos se vuelven locos.
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