Algoritmo de la resta (con llevadas) I

El algoritmo de la resta con llevadas levanta pasiones encontradas con la misma facilidad con la que evidencia el planteamiento didáctico del docente que ha de enseñarlo. No se trata de una cuestión menor ya que afecta directamente a la forma en la que se relacionará el alumno con las matemáticas. En esta entrada me gustaría expresar algunas opiniones al respecto ¿Quieres conocerlas?

Previamente al momento en el que se introduce la resta, los alumnos, en mi opinión, deberían:
-Dominar la secuencia numérica al nivel de cadena bidireccional, es decir, dado un número cualquiera, ser capaces de continuar la serie de forma ascendente o descendente.
-Haber experimentado de forma manipulativa situaciones de sustracción.

Estas dos condiciones deberían ser imprescindibles y, de no ser cumplidas, habría que detenerse para trabajar en ellas y no avanzar hasta que no se encuentren perfectamente asimiladas.

Por otro lado (y recomiendo al respecto la lectura de esta entrada y del blog en general) hay que tener claro que el dominio de un algoritmo, entendido aquí como el conjunto de instrucciones que hemos de cumplir para resolver una operación, no puede ser un fin en sí mismo. Dicho de otro modo, si la enseñanza de un algoritmo no permite al alumno avanzar en la comprensión de una situación u operación matemática, deberíamos convenir que este algoritmo es completamente inútil. Veamos un ejemplo:

Si abordamos esta resta contando de 3 a 6 , empleando un algoritmo de cuenta ascendente (contar desde 3 hasta 6), obtendremos un resultado correcto pero no existirá una relación significativa que ayude al alumno a profundizar en la compresión de lo que expresa una resta, que es una detracción (n-1).
Emplear un algoritmo en el que "A 6 le quito 3" o "6 menos 3" mantiene la coherencia con la situación que representa la operación y permite al alumno profundizar en la comprensión de lo que significa restar. Podríamos ademas emplear el apoyo visual de representar el conjunto de elementos que representa cada número.

En mi opinión, los algoritmos, además de mejorar la comprensión de la situación matemática que resuelven, deben de guardar coherencia con los algoritmos previamente adquiridos. Veamos otro ejemplo:

Si en la suma, pedimos a los alumnos que sumen hacia abajo, 6 + 3.

No sería coherente con lo anterior pedirles que, en una suma con llevadas, sumen hacia arriba, 5 + 6. Este cambio de sentido no aporta nada al algoritmo de la suma y puede generar extrañeza o confusión en los alumnos (¿Por qué a veces operamos hacia abajo y otras veces hacia arriba?)

Podemos ademas, por diversión, realizar una comparación entre la misma operación expresada en horizontal o en vertical:

Casi nadie dudaría que en el primer caso al primer número le sustraemos el segundo. Igual que deberíamos hacer en vertical. Sin embargo cuando nos encontramos con una resta con llevadas esta certeza salta por los aires, cuando la única diferencia debería ser el operar por columnas .

Estas consideraciones, que muchas veces no son tenidas en cuenta o son descartadas por ser consideradas de menor importancia (¡!), se aprecian con total claridad al abordar la enseñanza de las restas con llevadas ya que resulta sorprendentemente fácil encontrar en los libros de texto algoritmos para resolverlas que no son coherentes con la situación de resta que representan o con los algoritmos previamente trabajados.

Si acordamos que, en la resta que habíamos usado como ejemplo, el algoritmo que ayuda mejor a comprender la situación es "A 6 le quito 3" y se realiza en sentido descendente, en la resta con llevadas deberíamos hacer lo mismo: al minuendo le sustraigo el sustraendo.
Solo con esta simple consideración ya deberíamos descartar cualquier algoritmo que emplee una cuenta ascendente desde el sustraendo por no guardar una relación significativa con la situación que representa. Recordemos que si, en la resta horizontal, al primer número le sustraigo el segundo; en una resta vertical no tenemos porque operar diferente.

Tomemos por un momento como referencia el algoritmo habitual empleado en la resolución de la suma llevando.

Para resolver comenzamos sumando desde arriba hacia abajo (4 + 7) la columna de las unidades, obteniendo como resultado 11.

Este 11 (10 + 1) esta compuesto por 1D y 1U. Reagrupamos ("desplazamos" o "llevamos") la decena que hemos obtenido a la columna de las decenas. Con ayuda visual quedaría así:

Y finalizamos sumando desde arriba hacia abajo la siguiente columna, la de las decenas.

Este procedimiento pone en práctica el fundamento de nuestro sistema decimal: 10 elementos en una columna se expresan como 1 conjunto en la columna siguiente o lo que es lo mismo 10 U = 1 D. Es un algoritmo que les permite avanzar en la comprensión de la situación que resuelve (una adición) y es coherente con las reglas de la notación posicional en el sistema decimal. Significativo y coherente.

En el caso de la resta "llevando" también existe un algoritmo que cumple estas condiciones: el llamado método americano o restar reagrupando.

En este planteamiento, cuando no puedo realizar una resta en columna porque la cifra del minuendo es menor que la del sustraendo, lo que hacemos es reagrupar las decenas para redistribuir la cantidad que representa el número. Para hacerlo nos servimos del mismo principio que empleábamos en la suma llevando pero al revés. Allí donde 10 U = 1 D, aquí pondremos en uso que 1 D = 10 U. Veamos un ejemplo:

 En esta resta hemos de fijarnos en que el 2 representa 2 decenas, 2 grupos de 10 unidades. Para redistribuir las decenas, pasaremos 1 de las dos decenas que hay a la columna de las unidades como un grupo de 10 unidades y las sumaremos a las 4 que ya había.

En esta imagen puede verse como hemos redistribuido o reagrupado las 2 decenas originales: 1 decena se ha añadido a las unidades para sumar 14 en total y la otra se mantiene en su columna. Una vez redistribuidas las cantidades se resuelve hacia abajo:  "A 14 le quito 7" o "14 menos 7" en serie descendente.

Se puede ver otro ejemplo animado magníficamente aquí, que además explica qué hacer cuando hay un 0 intermedio.

Al hacerlo de esta manera:
-Seguimos relacionando el algoritmo con las reglas de la notación posicional (1 D = 10 U) en una relación inversa a la empleada para la suma (en cada columna la cifra 1 expresa 1 conjunto de 10 elementos de la columna anterior), reforzando en el alumnado la idea de que la resta es la operación inversa a la suma ya que emplea los mismos principios (adición/sustracción y redistribución hacia la izquierda/hacia la derecha) pero al revés.
-El algoritmo emplea el mismo principio de redistribución que ya hemos empleado en la suma con llevadas. Opera con mecanismos ya conocidos.
-El algoritmo emplea haciendo aquello que representa la operación: restando o sustrayendo.
-Podemos apoyarnos en la nomenclatura de los términos de la resta para reforzar la comprensión de lo que hacemos y de porqué lo hacemos: Una resta es una sustracción y por eso sustraemos la cantidad indicada en el sustraendo.

Así pues logramos presentar un algoritmo de resta "con llevadas" que ayuda a comprender la operación que resuelve y, además, es coherente con los contenidos matemáticos que han trabajado previamente.

Cuando el alumno ha interiorizado el procedimiento de redistribución interno se le puede pedir, igual que se hace en el algoritmo tradicional, que lo resuelva sin el empleo de las ayudas visuales. Esto no implica cambiar el algoritmo sino dejar de explicitar gráficamente el proceso mental que se sigue para calcular el resultado.